Question

（2013•青島一模）若任意直線l過點F（0，1），且與函數f(x)=

1

4

x2的圖象C于兩個不同的點A，B過點A，BC，兩切線交于點M
（Ⅰ）證明：點M縱坐標是一個定值，并求出這個定值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x），g（x）=alnx（a＞0），求實數a取值范圍；
（Ⅲ）求證：

2ln2

22

+

2ln3

32

+

2ln4

42

+…+

2ln

n2

≤

n-1

e

，（其中e自然對數的底數，n≥2，n∈N）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設AB：y=kx+1，與拋物線方程聯立，求出x₁x₂，利用函數的導數推出AM，BM的斜率，得到它們的方程，然后求出點M縱坐標是一個定值即可；
（Ⅱ）構造F（x）=f（x）-g（x），求出函數的最小值，利用不等式f（x）≥g（x），說明F（x）的最小值大于等于0，即可求實數a取值范圍；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）：取a=

e

2

，則有

1

4

x2≥

e

2

lnx，代入x=2，3，4，…，n，即可求證：

2ln2

22

+

2ln3

32

+

2ln4

42

+…+

2ln

n2

≤

n-1

e

，（其中e自然對數的底數，n≥2，n∈N）．

解答：（本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知AB的斜率必存在，設AB：y=kx+1，
將其代入y=

1

4

x2得：x²-4kx-4=0，∴x₁x₂=-4…（2分）
∵f(x)=

1

4

x2，f′(x)=

1

2

x，∴kAM=

x1

2

，kBM=

x2

2

，
AM：y-

1

4

x12=

x1

2

(x-x1)，化簡得：AM：y=

x1

2

x-

x12

4

…①
同理：BM：y=

x2

2

x-

x22

4

，…②
由①②消去x得：y=

x 1x2

4

=-1…（5分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

4

x2-alnx，（a＞0，x＞0），
∴F′（x）=

x

2

-

a

x

=

x2-2a

2x

令 F′（x）=0 得x=

2a

，
當x∈（0，

2a

）時F′（x）＜0，F（x）在x∈（0，

2a

）上單調遞減； 
當x∈（

2a

，+∞）時F′（x）＞0，F（x）在x∈（

2a

，+∞）上單調遞增；
∴F（x）在x=

2a

時取得最小值，…（7分）
要使f（x）≥g（x）恒成立，只需F（

2a

）≥0
即 

a

2

-aln

2a

≥0，解得a≤

e

2

，又a＞0，∴0＜a≤

e

2

…（9分）
（Ⅲ）根據（Ⅱ）：取a=

e

2

，則有

1

4

x2≥

e

2

lnx，化簡得：

2

x2

lnx≤

1

e

  …（11分）
分別令x=2，3，4，…，n，得：

2

22

ln2≤

1

e

，

2

32

ln3≤

1

e

，…，

2

n2

lnn≤

1

e

相加：

2ln2

22

+

2ln3

32

+

2ln4

42

+…+

2ln

n2

≤

n-1

e

…（13分）

點評：本題考查函數與導數的綜合應用，利用函數的最值證明不等式，直線與拋物線的位置關系的應用，考查轉化數學與計算能力．