Question

（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件及圖知，可先由線面垂直的性質證出PA⊥BD與PC⊥BD，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；
（2）由圖可令AC與BD的交點為O，連接OE，證明出∠BEO為二面角B-PC-A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
（2）設AC與BD交點為O，連OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO為二面角B-PC-A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四邊形ABCD為正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2

2

，PC=3
∴OC=BO=

2

在△PAC∽△OEC中，

OE

OC

=

PA

PC

⇒

OE

2

=

1

3

⇒OE=

2

3

∴tan∠BEO=

BO

OE

=3
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值為3

點評：本題考查二面角的平面角的求法及線面垂直的判定定理與性質定理，屬于立體幾何中的基本題型，二面角的平面角的求法過程，作，證，求三步是求二面角的通用步驟，要熟練掌握