Question

（本題12分）已知函數，其中．

   （Ⅰ）若曲線在點處的切線方程為，求函數的解析式；

   （Ⅱ）討論函數的單調性；

   （Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在，內是增函數，在，（0,）內是減函數;（3）．

【解析】第一問利用，由導數的幾何意義得，

    由切點在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．

    所以函數的解析式為

第二問）．

    當時，顯然（）．這時在，內是增函數。

    當a>0時，令，解得．

第三問由（Ⅱ）知，對于任意的,在上的最大值為與中的較大者，欲使不等式在上恒成立，當且僅當，即

解：（Ⅰ），由導數的幾何意義得，

    由切點在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．

    所以函數的解析式為．                            

   （Ⅱ）．

    當時，顯然（）．這時在，內是增函數。

    當a>0時，令，解得．

    當變化時，，的變化情況如下表：

	＋	0	－	－	0	＋
	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

    所以在，內是增函數，在，（0,）內是減函數．

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知，對于任意的,在上的最大值為與中的較大者，欲使不等式在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立．       從而得，所以滿足條件的b的取值范圍是．