Question

（2013•浙江）在公差為d的等差數列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數列．
（Ⅰ）求d，a_n；
（Ⅱ）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由已知條件a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數列列式求出公差，則通項公式a_n可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的結論，得到等差數列{a_n}的前11項大于等于0，后面的項小于0，所以分類討論求d＜0時|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|的和．

解答：解：（Ⅰ）由題意得5a3•a1=(2a2+2)2，即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2，整理得d²-3d-4=0．解得d=-1或d=4．
當d=-1時，a_n=a₁+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．
當d=4時，a_n=a₁+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．
所以a_n=-n+11或a_n=4n+6；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，因為d＜0，由（Ⅰ）得d=-1，a_n=-n+11．
則當n≤11時，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-

1

2

n2+

21

2

n．
當n≥12時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-S_n+2S₁₁=

1

2

n2-

21n

2

+110．
綜上所述，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

- 1 2 n2+ 21 2 n，n≤11 1 2 n2- 21 2 n+110，n≥12

．

點評：本題考查了等差數列、等比數列的基本概念，考查了等差數列的通項公式，求和公式，考查了分類討論的數學思想方法和學生的運算能力，是中檔題．