Question

如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為2a的正方形，周圍是四個全等的弓形．已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H．設弧AD的長為l，∠APH=θ，θ∈(

π

4

，

3π

4

)．（1）求l關于θ的函數關系式；（2）定義比值

OP

l

為招貼畫的優美系數，當優美系數最大時，招貼畫最優美．證明：當角θ滿足：θ=tan(θ-

π

4

)時，招貼畫最優美．

Answer 1

分析：（1）先對θ所在范圍分情況求解，最后綜合即可；
（2）先根據條件求出OP=a-

acosθ

sinθ

，θ∈（

π

4

，

3π

4

）；進而得到

OP

L

=

sinθ-cosθ

2θ

，然后借助于兩次求導求出函數的最大值點即可得到結論．

解答：解：（1）當θ∈（

π

4

，

π

2

）時，點P在線段OG上，AP=

a

sinθ

；
當θ∈（

π

2

，

3π

4

）時，點P在線段GH上，AP=

a

sin(π-θ)

=

a

sinθ

；
當θ=

π

2

時，AP=a．
綜上所述AP=

a

sinθ

，θ∈（

π

4

，

3π

4

），
所以，弧AD的長L=AP•2θ=

2aθ

sinθ

．
故所求函數關系式為L=

2aθ

sinθ

，θ∈（

π

4

，

3π

4

）．
（2）證明：當θ∈（

π

4

，

π

2

）時，OP=OG-PG=a-

a

tanθ

=a-

acosθ

sinθ

；
當θ∈（

π

2

，

3π

4

）時，OP=OG+GH=a+

a

tan(π-θ)

=a-

a

tanθ

=a-

acosθ

sinθ

；
當θ=

π

2

時，OP=a．
所以，OP=a-

acosθ

sinθ

，θ∈（

π

4

，

3π

4

）．
從而，

OP

L

=

sinθ-cosθ

2θ

，θ∈（

π

4

，

3π

4

）．
記f（θ）=

sinθ-cosθ

2θ

，θ∈（

π

4

，

3π

4

）．
則f′（θ）=

θ(cosθ+sinθ)-(sinθ-cosθ)

2θ2

令f′（θ）=0得θ（cosθ+sinθ）=sinθ-cosθ
因為θ∈（

π

4

，

3π

4

）所以cosθ+sinθ≠0，從而θ=

sinθ-cosθ

sinθ+cosθ

，
顯然θ≠

π

2

，所以θ=

sinθ-cosθ

sinθ+cosθ

=

tanθ-1

tanθ+1

=tan（θ-

π

4

）
記滿足θ=tan（θ-

π

4

）的θ=θ₀．下面證明θ₀是函數f（θ）的極值點．
設g（θ）=θ（cosθ+sinθ）-（sinθ-cosθ），θ∈（

π

4

，

3π

4

），
則g′（θ）=θ（cosθ-sinθ）＜0上θ∈（

π

4

，

3π

4

）恒成立．
從而g（θ）在θ∈（

π

4

，

3π

4

）上單調遞減，
所以，當θ∈（

π

4

，θ₀）時g（θ）＞0，即f′（θ）＞0，f（θ）在（

π

4

，θ₀）上單調遞增，
當θ∈（θ₀，

3π

4

）時，g（θ）＜0，即f′（θ）＜0，f（θ）在（θ₀，

3π

4

）上單調遞減．
故f（θ）在θ=θ₀．處取得極大值也是最大值．
所以：當θ滿足θ=tan（θ-

π

4

）時，函數f（θ）即

OP

L

取得最大值，此時招貼畫最優美．

點評：本題主要考察解三角形在生活中的應用問題．解決本題的第二問時涉及到了兩次求導來求函數的最值，難度較大．