Question

若命題p：?x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命題，則實數a的取值范圍是

{

5

}∪[

7

3

，3]

．

Answer 1

分析：已知命題p：?x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命題，可知?x∈[1，3]使得x²-2ax+5≤0，利用函數的圖象，進行求解；

解答：解：∵命題p：?x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命題，
∴?x∈[1，3]，使得x²-2ax+5≤0，可得，圖象開口向上，△=（-2a）²-4×5=4a²-20；
y=x²-2ax+5，令y=0，方程的兩個根，得x₁=a+

1

2

4a2-20

，x₂=a-

1

2

4a2-20

要使∴?x∈[1，3]，使得x²-2ax+5≤0，
只要有一個根在[1，3]之間就可以，
可得：

△＞0 1≤x1≤3

或

△＞0 1≤x2≤3

解得：

7

3

≤a≤3
若△=0，可得a=±

5

，
當a=-

5

，可得方程的根為x=-

5

，不滿足，題意；
當a=

5

，可得方程的根為x=

5

，方程存在根x=

5

使得x²-2ax+5=0，符合題意；
綜上：實數a的取值范圍是{

5

}∪[

7

3

，3]；
故答案為{

5

}∪[

7

3

，3]；

點評：此題主要考查符合命題的真假，將問題轉化為?x∈[1，3]，使得x²-2ax+5≤0，根據根與系數的關系進行求解；