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有冪函數y＝x^α(α≠0)若干個，每個函數至少具有下面三條性質之一：①是奇函數；②是(－∞，＋∞)內的增函數；③函數的圖象經過原點，又已知同時具有性質①的共有15個，具有性質②的共有12個，具有性質③的共有18個，試問這些冪函數共有幾個？其中冪指數小于零的有幾個？

答案：
解析：

　　解：設這些冪函數中分別具備性質①、②、③的函數分別組成集合A、B、C．而冪指數小于零的全體構成集合D．依題意有Card(A)＝15，Card(B)＝12，Card(C)＝18，又由冪函數的性質知在R內是增函數一定是奇函數，且圖象一定經過原點；又若一個函數是奇函數，且圖象又經過原點的冪函數一定是在R上的增函數．

　　∴BA，BC，A∩CB，BA∩C．

　　∴A∩C＝B．

　　則Card(A∪B∪C)＝Card(A∪C)＝Card(A)＋Card(C)－Card(A∩C)

　　＝Card(A)＋Card(C)－Card(B)＝15＋18－12＝21，

　　即共有冪函數21個．

　　又冪指數小于零的冪函數圖象一定不經過原點，反之亦然，故其中冪指數小于零的函數有21－18＝3個．

　　思路分析：由題意可以把分別具備性質①、②、③的函數分別組成集合A、B、C，能用集合的相關運算解決．

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科目：高中數學 來源：學習周報　數學　人教課標高一版(A必修1)　2009－2010學年　第8期　總164期人教課標高一版 題型：022

冪函數y＝xⁿ，當n取不同的正數時，它們在區間[0，1]上的圖象是一族美麗的曲線，如下圖．設點A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y＝x^α，y＝x^β的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么α＋β＝________，αβ＝________(精確到0.01．參考數據：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．