Question

(南京陶吳中學模擬)如下圖，在四棱錐P—ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，E為PD的中點．

(1)求證：AE∥平面PBC；

(2)求證：AE⊥平面PDC；

(3)若AB=BP=2，求四棱錐P—ABCD的體積．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)證明：取PC的中點M，連接EM，則EM∥CD，，所以有EM∥AB且EM=AB，則四邊形ABME是平行四邊形．所以AE∥BM，又因為平面PBC，平面PBC，所以AE∥平面PBC． (2)因為AB⊥平面PBC，AB∥CD，所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM．由(1)得，BM⊥PC，所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM，所以AE⊥平面PDC． (3)取BC的中點O，連接PO，則PO⊥BC．AB⊥平面PBC，PO平面PBC，∴AB⊥PO，又PO⊥BC，AB∩BC=B，∴PO⊥平面ABCD， ∴． ∵，， ∴．