Question

已知離心率為e=2的雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，雙曲線C的一個焦點到漸近線的距離是

3

（1）求雙曲線C的方程
（2）過點M（5，0）的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，交y軸于N點，當

NM

=λ

AM

=μ

BM

，且(

1

λ

)2+(

1

μ

)2=(

7

5

)2時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據點到直線的距離公式求出右焦點F（c，0）到漸近線bx-ay=0的距離，從而得a=1最后寫出雙曲線方程
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標公式即可求得直線l的方程，從而解決問題．

解答：解：（1）∵e=2∴

c

a

=2（1分）
右焦點F（c，0）到漸近線bx-ay=0的距離d=

|cb|

a2+b2

=b=

3

（3分）
從而得a=1∴雙曲線方程是x2-

y2

3

=1（5分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2- y2 3 =1 y=k(x-5)

得（3-k²）x²+10k²x-25k²-3=0△=100k4+4(3-k2)(25k2+3)＞0(k≠±

3

)①x1+x2=-

10k2

3-k2

，x1x2=-

25k2+3

3-k2

由

NM

=λ

AM

得，同理

1

μ

=1-

x2

5

1

λ

+

1

μ

=2-

x1+x2

5

=

6

3-k2

，

1

λ

•

1

μ

=1-

x1+x2

5

+

x1x2

25

=

72

25(3-k2)

(

1

λ

)2+(

1

μ

)2=(

1

λ

+

1

μ

)2-

2

λμ

=

36

(3-k2)2

-

144

25(3-k2)

=

49

25

解得k=±3滿足①∴l方程為3x-y-15=0或3x+y-15=0

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了直線與圓錐曲線的位置關系．綜合考查了學生基礎知識的掌握和理解．