Question

已知：

a

=（4sinx，cosx-sinx），

b

=（sin²（

π

4

+

x

2

），cosx+sinx），函數f（x）=

a

•

b

．
（1）設ω＞0且為常數，若y=f（ωx）在區間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）=cosx+1，求tan（2x+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用數量積運算、倍角公式、即可得出f（x），再利用正弦函數的單調性可得ω的取值范圍；
（2）利用弦化切和倍角公式、兩角和的正切公式即可得出．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+(cosx-sinx)(cosx+sinx)
=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x
=2sinx+1．
∵f（ωx）=2sin（ωx）+1在區間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數
∴[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

2π

ω

，

2π

ω

]，∴

π

2ω

≥

2π

3

，且-

π

2ω

≤-

π

2

．
∴ω∈(0，

3

4

]．
（2）由f（x）=cosx+1=2sinx+1，得tanx=

1

2

．
∴tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

1

1- 1 4

=

4

3

．
∴tan(2x+

π

6

)=

tan2x+tan π 6

1-tan2xtan π 6

=

4 3 + 3 3

1- 4 3 × 3 3

=

48+25 3

11

．

點評：熟練掌握數量積運算、倍角公式、正弦函數的單調性、弦化切和倍角公式、兩角和的正切公式等是解題的關鍵．