Question

下列命題：①若區間D內任意實數x都有f（x+1）＞f（x），則y=f（x）在D上是增函數；②y=-

1

x

在定義域內是增函數；③函數f(x)=

1-x2

|x+1|-1

圖象關于原點對稱；④如果關于實數x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正數解僅有一個，那么實數a的取值范圍是a≤0；  其中正確的序號是

③

．

Answer 1

分析：根據函數單調性的定義，我們可以判斷①的真假；根據反比例函數的圖象和性質，我們可以判斷②的真假；根據函數奇偶性的定義及圖象特征，可以判斷③的真假；根據方程根與函數零點的關系，我們判斷出關于實數x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正數解僅有一個時，參數a的取值范圍，即可判斷④的真假，進而得到答案．

解答：解：①若區間D內任意實數x都有f（x+1）＞f（x），但不一定滿足增函數的定義，則y=f（x）在D上是增函數錯誤；
②y=-

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上均為增函數，但在其定義域內不是增函數，故②錯誤；
③∵函數f(x)=

1-x2

|x+1|-1

為奇函數，∴函數f(x)=

1-x2

|x+1|-1

的圖象關于原點對稱，故③正確；
④將方程ax2+

1

x

=3x改寫為

1

x

=3x-ax2，令 y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“關于實數x的方ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數解”等價于“雙曲線y1=

1

x

與y₂=3x-ax²的圖象在y軸右側只有一個交點”．
雙曲線y1=

1

x

在第一、三象限內．
當a＞0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向下且過原點（0，0）及x軸正半軸上的點 （3a，0），研究知，當a＜2時，雙曲線y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內有兩個交點，當a＞2時，兩曲線在第一象限無交點，當a=2進，兩曲線僅有一個交點，故a=2符合題意．
當a=0時，y₂=3x-ax²為直線，此時，雙曲線y1=

1

x

與直線y₂=3x在第一象限內只有一個交點，故a=0符合題意．
當a＜0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向上且過原點（0，0）及x軸負半軸上的點 （3a，0），此時，雙曲線 y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內僅有一個交點，故a＜0符合題意．
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．，故④錯誤；
故答案為：③

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，方根根的個數及判斷，對稱圖形，函數單調性的定義及判斷，熟練掌握函數圖象及性質，是解答本題的關鍵．