Question

已知圓A的圓心為(,0),半徑為1,雙曲線C的兩條漸近線都過原點,且與圓A相切,雙曲線C的一個頂點A′與點A關于直線y=x對稱.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)設直線l過點A,斜率為k,當0＜k＜1時,雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為,試求k的值及此時點B的坐標.

Answer 1

解：(1)設雙曲線的漸近線為y=kx,則=1,解得k=±1,即漸近線方程為y=±x.

又點A關于y=x的對稱點A′的坐標為(0, ),所以a=b=,雙曲線的方程為-=1.

(2)直線l:y=k(x-)(0＜k＜1).

依題意設B點在與l平行的直線l′上,且l與l′間的距離為,設直線l′:y=kx+m,

則=,即m²+2km=2,                                           ①

把l′代入雙曲線方程得(k²-1)x²+2mkx+m²-2=0.

∵0＜k＜1,∴k²-1≠0.

∴Δ=4(m²+2k²-2)=0,即m²+2k²=2.                                               ②

解①②得m=,k=.

此時x=2,y=,∴B(2,).