Question

設直線l：x－y＋m＝0與拋物線C：y2＝4x交于不同兩點A，B，F 為拋物線的焦點．

(1)求△ABF的重心G的軌跡方程；

(2)如果m＝－2，求△ABF的外接圓的方程．

 

Answer 1

(1)y＝(2)2＋2＝

【解析】(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，重心G(x，y)，

⇒y2－4y＋4m＝0，

∴Δ>0⇒m<1且m≠－1(A，B，F不共線)，

故

∴重心G的軌跡方程為y＝.

(2)若m＝－2，則y2－4y－8＝0，設AB中點為(x0，y0，)

∴y0＝＝2，∴x0＝y0－m＝2－m＝4，

那么AB的中垂線方程為x＋y－6＝0，

令△ABF的外接圓圓心為C(a,6－a)，

又|AB|＝|y1－y2|＝4，C到AB的距離為d＝，∴|CA|＝|CF|⇒(2)2＋2＝(a－1)2＋(6－a)2⇒a＝，

∴C點的坐標為，∴|CF|2＝2＋2＝，

∴所求的圓的方程為2＋2＝.