Question

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）P(，±)，x±y－＝0.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 先利用點到直線的距離公式求，再利用離心率求，最后利用參數的關系求；(Ⅱ)設點利用方程組消元后得根與系數關系，然后代入題中條件化簡可求.

試題解析：(Ⅰ) 設F(c，0)，當l的斜率為1時，其方程為x－y－c＝0，

∴O到l的距離為，

由已知，得＝，∴c＝1．

由e＝＝，得a＝，b＝＝．              4分

（Ⅱ）假設C上存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立，

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則P(x₁＋x₂，y₁＋y₂)．

由（Ⅰ），知C的方程為＋＝1．

由題意知，l的斜率一定不為0，故不妨設l：x＝ty＋1．

由，消去x并化簡整理，得(2t²＋3)y²＋4ty－4＝0．

由韋達定理，得y₁＋y₂＝－，

∴x₁＋x₂＝ty₁＋1＋ty₂＋1＝t(y₁＋y₂)＋2＝－＋2＝，

∴P(，－)．

∵點P在C上，∴＋＝1，

化簡整理，得4t⁴＋4t²－3＝0，即(2t²＋3)(2t²－1)＝0，解得t²＝．

當t＝時，P(，－)，l的方程為x－y－＝0；

當t＝－時，P(，)，l的方程為x＋y－＝0．

故C上存在點P(，±)，使＝＋成立，此時l的方程為x±y－＝0．   13分

考點：橢圓的基本概念，點到直線的距離，根與系數關系，設而不求的思想.