Question

（2011•甘肅模擬）已知點F₁、F₂為橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦點，過F₁的直線l交該橢圓于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點，△ABF₂的內切圓的周長為π，則|y₁-y₂|的值是（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  10

  3

• C．

  20

  3

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：根據橢圓方程求得a和c，及左右焦點的坐標，進而根據三角形內切圓面積求得內切圓半徑，進而根據△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積求得△ABF₂的面積=3|y₂-y₁|進而根據內切圓半徑和三角形周長求得其面積，建立等式求得|y₂-y₁|的值．

解答：解：橢圓：

x2

25

+

y2

16

=1，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦點F₁（-3，0）、F₂（ 3，0），
△ABF₂的內切圓面積為π，則內切圓的半徑為r=

1

2

，
而s_△ABF2=S_△AF1F2+S_△BF1F2=

1

2

×|y₁|×|F₁F₂|+

1

2

×|y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂-y₁|（A、B在x軸的上下兩側）
又S_△ABF2=

1

2

×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|=

1

2

×

1

2

（2a+2a）=a=5．
所以 3|y₂-y₁|=5，
|y₂-y₁|=

5

3

．
故選D．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質，三角形內切圓性質，本題的關鍵是求出△ABF₂的面積，屬于中檔題．