Question

已知F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，點P滿足|

PF

1|+|

PF

2|=4，記點P的軌跡為E，
（1）求軌跡E的方程；
（2）如果過點Q（0，m）且方向向量為

c

=（1，1）的直線l與點P的軌跡交于A，B兩點，當

OA

•

OB

=0時，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：解：（1）點P滿足|

PF

1|+|

PF

2|=4，得出點P的軌跡是以（

3

，0），（-

3

，0）為焦點的橢圓從而寫出點P的軌跡方程即可．
（2）依題意直線AB的方程為y=x+m，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量垂直的條件可求得m值，最后利用弦長公式結合三角形的面積公式即可解決問題．

解答：解：（1）∵點P滿足|

PF

1|+|

PF

2|=4，
∴

(x+ 3 )2+y2

+

(x- 3 )2+y2

=4
∴點P的軌跡是以（

3

，0），（-

3

，0）為焦點的橢圓，
a=2，c=

3

，b=1，
∴點P的軌跡方程為

x2

4

+y2=1
（2）依題意直線AB的方程為y=x+m．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入橢圓方程，得5x²+8mx+4m²-4=0，（1分）△=64m²-20（4m²-4）＞0，∴m²＜5，
x1x2=

4m2-4

5

，y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=

m2-4

5

，
x1x2+y1y2=

5m2-8

5

=0，m2=

8

5

，m=±

2 10

5

，
因此AB=

1+1

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

5

80-16m2

=

4 2

5

5-m2

=

4 170

25

，
dO-AB=

|m|

2

=

2 5

5

，
S△AOB=

1

2

|AB|•d=

2

5

(5-m2)m2

=

2 136

25

．

點評：本題考查橢圓的性質與其性質的應用，注意（2）的處理弦長問題的一般方法，將直線的方程代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得m值，從而解決問題．