Question

已知命題p：x∈A，且A={x|a-1＜x＜a+1}，命題q：x∈B，且B={x|x²-4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求實數a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把集合B化簡后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于數軸列方程組可解a的值；
（Ⅱ）把p是q的充分條件轉化為集合A和集合B之間的關系，運用兩集合端點值之間的關系列不等式組求解a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）B={x|x²-4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a-1＜x＜a+1}，
由A∩B=∅，A∪B=R，得

a-1=1 a+1=3

，得a=2，
所以滿足A∩B=∅，A∪B=R的實數a的值為2；
（Ⅱ）因p是q的充分條件，所以A⊆B，且A≠∅，所以結合數軸可知，
a+1≤1或a-1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分條件的實數a的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．

點評：本題考查了充分條件，考查了集合關系的參數取值問題，集合關系的參數取值問題要轉化為兩集合端點值的大小比較，是易錯題．