Question

已知定義在R上的奇函數f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

對一切實數x及m恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）若函數g（x）是定義在R上的周期為2的奇函數，且當x∈（-1，1）時，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

Answer 1

分析：（1）由題意，函數在R上是奇函數，由于其在原點有定義故一定有f（0）=0，再結合f（-1）=-f（1），由此兩方程即可求出a、b的值；
（2）本小題的不等式恒成立，故可由（1）解出的函數解析式求出函數的最值，將恒成立的不等式-m²+（k+2）m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

轉化成 

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

對 m∈R恒成立，再由二次函數的性質研究此不等式組，解出參數K的取值范圍；
（3）由題設條件函數是周期為2的奇函數，故可先研究其一個周期上的零點，再由周期性得出所有的零點，由于函數是奇函數易得f（0）=0，再由周期性的性質與奇函數的性質可得出

f(-1)=f(1) f(-1)=-f(1)

由此解得f（-1）=f（1）=0，由此知一個周期上的零點，再由周期性得出結論

解答：解：（1）由于f（x）為R上的奇函數，故 f（0）=0，得 b=1…（1分）
則 f(x)=

1-2x

2x+1+a

由 f（-1）=-f（1）得

1- 1 2

1+a

=-

1-2

4+a

，解得 a=2
∴

a=2 b=1

…（4分）
（2）由（1）f(x)=

1-2x

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由 2^x+1＞1知 0＜

1

2x+1

＜1
則 -

1

2

＜f(x)＜

1

2

…（6分）
要使-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

對一切實數x及m恒成立
則需且只需 

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

對 m∈R恒成立
即 

m2-(k+2)m+1≥0 m2+2km+k+2≥0

對 m∈R恒成立 …（8分）
只需 

△1=(k+2)2-4≤0 △2=(2k)2-4(k+2)≤0

解得-1≤k≤0…（9分）
（3）當x∈（-1，1）時g(x)=f(x)-x=-

1

2

+

1

2x+1

-x
顯然

1

2x+1

及-x均為減函數，故g（x）在（-1，1）上為減函數 …（11分）
由于g（0）=0，故在（-1，1）內g（x）=0有唯一根x=0
由于g（x）周期為2，由此有x∈（2k-1，2k+1）內有唯 一根x=2k（k∈N）（1）…（12分）
綜合得x=2k（k∈N）為g（x）=0的根
又因為g（-1）=g（-1+2）=g（1）得-g（1）=g（1）
故g（1）=0，因此得g（2k+1）=0（k∈N）（2）…（13分）
綜合（1）（2）有g（x）=0的所有解為一切整數 …（14分）

點評：本題考查函數恒成立的問題，函數恒成立的問題由于其抽象，推理難度大，方法不易得出而使得解此類題比較困難，解此類題，理解題意，對題設中所給的恒成立的關系進行準確轉化是解題的關鍵，本題考查了轉化的思想，對探究意識要求較高，在高考試卷上多以壓軸題的形式出現，由于此類題思維難度過大，新教材實驗區已多年沒有出現這樣的題了