Question

如圖，已知橢圓中心在原點，F是焦點，A為頂點，準線l交x軸于點B，點P，Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，則橢圓的離心率是①

|PF|

|PD|

；②

|QF|

|BF|

；③

|AO|

|BO|

；④

|AF|

|AB|

；⑤

|FO|

|AO|

，其中正確的是

①②③④⑤

．

Answer 1

分析：根據題意，設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），進而根據這個方程分別給出5個式子關于a、b、c的表示式，將化簡計算出的結果與離心率e的表達式比較，可得答案．

解答：解：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依次分析5個比值的式子可得：
①根據橢圓的第二定義，可得

|PF|

|PD|

=e，符合題意；
②根據橢圓的性質，可得|BF|=

a2

c

-c=

b2

c

，且|QF|=

b2

a

，則

|QF|

|BF|

=

b2 a

b2 c

=

c

a

=e，符合題意；
③由橢圓的性質，可得|AO|=a，|BO|=

a2

c

，則

|AO|

|BO|

=

a

a2 c

=

c

a

=e，符合題意；
④由橢圓的性質，可得

|AF|

|AB|

=

a-c

a2 c -a

=

c

a

=e，符合題意；
⑤由橢圓的性質，可得|AO|=a，|FO|=c，

|FO|

|AO|

=

c

a

=e，符合題意．
故答案為：①②③④⑤

點評：本題給出幾個橢圓中的線段的比值，求與離心率e相等的式子．著重考查了橢圓的定義、標準方程與簡單幾何性質的知識，屬于中檔題．