Question

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：

①sin213°＋cos217°-sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°-sin15°cos15°；

③sin218°＋cos212°-sin18°cos12°；

④sin2(-18°)＋cos248°-sin(-18°)cos48°；

⑤sin2(-25°)＋cos255°-sin(-25°)cos55°.

(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；

(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）選擇（2），由sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，可得這個常數的值．
（Ⅱ）推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．

證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結果．
證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為 ，

即，化簡可得結果.

試題解析：法一：(1)選擇②式，計算如下：

4分

(2)三角恒等式為 6分

證明如下：

12分

法二：(1)同法一．

(2)三角恒等式為

證明如下：

.

考點：1.分析法和綜合法；2.歸納推理．.