Question

注：此題選A題考生做①②小題，選B題考生做①③小題．
已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時有f（x）=

4x

x+4

．
①求f（x）的解析式；
②（選A題考生做）求f（x）的值域；
③（選B題考生做）若f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：①根據函數的奇偶性的對稱性，先求出函數的解析式，
②然后利用分式函數的性質即可求出函數的值域，
③根據函數的奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行等價轉化，然后解不等式即可．

解答：解：①∵當x≥0時有f(x)=

4x

x+4

，
∴當x≤0時，-x≥0，
∴f(-x)=

-4x

-x+4

=

4x

x-4

=-f(x)，
∴f(x)=-

4x

x-4

（x≤0）
∴

f(x)= 4x x+4 (x≥0) 4x 4-x (x≤0)

．
②∵當x≥0時有f(x)=

4x

x+4

=4-

16

x+4

，
∴0≤f（x）＜4，
又∵f（x）是奇函數，
∴當x≤0時-4＜f（x）≤0
∴f（x）∈（-4，4）．
③∵當x≥0時有f(x)=

4x

x+4

=4-

16

x+4

，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，
又∵f（x）是奇函數，
∴f（x）是在（-∞，+∞）上是增函數，
∵f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，
∴f（2m+1）＞-f（m²-2m-4）=f[-（m²-2m-4）]，
∴2m+1＞-（m²-2m-4），
即m²＞3，
∴m＜-

3

或m＞

3

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，利用條件求出函數的表達式，利用函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．