Question

(12分)已知函數在上是增函數，在上為減函數。
(1)求f(x) ,g(x)的解析式；
(2)求證：當x>0時，方程f(x)=g(x)+2有唯一解。

Answer 1

解：（1）∵f(x)=x-alnx在（1，2]上是增函數，
∴f/（x）=2x-在（1，2]上大于等于零恒成立
∴a≤2x2
∴a≤2
又∵g(x)=x-在(0,1)上為減函數。
∴g/(x)=1-在（0，1）上小于等于零恒成立
∴a≥2
∴a≥2
∴a=2
∴f(x)=x-2lnx, g(x)=x-2
（2）設F(X)=" f(x)-" g(x)-2
∴F(X)= x-2lnx-x+2-2
∴F/(X)= 2X--1+=
∵x>0
∴0<x<1時F/(X)〈0，F(X)單調遞減，x＞1時F/(X)＞0 F(X)單調遞增。
∴F(X)在x=1時取最小值
又∵F(1)=0
∴F(X)在x＞0時有唯一解x=1

略