Question

已知橢圓E：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率e=，點D（0，1）在且橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點F₂且不與坐標軸垂直的直線交橢圓E于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G（t，0），求點G橫坐標的取值范圍．
（Ⅲ）試用表示△GAB的面積，并求△GAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由點D（0，1）在且橢圓E上，知b=1，由e=，得到，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入+y²=1，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．有直線AB過橢圓的右焦點F₂，知方程有兩個不等實根．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x，y），由此利用韋達定理能夠求出點G橫坐標t的取值范圍．
法二：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，由得（m²+2）y²+2my-1=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x，y），則，．得． 所以AB垂直平分線NG的方程為y-y=-m（x-x）．令y=0，得，由此能求了t的取值范圍．                           
（Ⅲ）法一：．而，由，，可得，所以．再由|F₂G|=1-t，得（）．設(shè)f（t）=t（1-t）³，則f′（t）=（1-t）²（1-4t）．由此能求出△GAB的面積的最大值．
法二：而，由，可得．所以．又|F₂G|=1-t，所以．△MPQ的面積為（）．設(shè)f（t）=t（1-t）³，則f'（t）=（1-t）²（1-4t）．由此能求出△GAB的面積有最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵點D（0，1）在且橢圓E上，
∴b=1，
∵===，
∴a²=2a²-2，
∴，
∴橢圓E的方程為（4分）
（Ⅱ）解法一：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），
代入+y²=1，整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過橢圓的右焦點F₂，
∴方程有兩個不等實根．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x，y），
則x₁+x₁=，，（6分）
∴AB垂直平分線NG的方程為．
令y=0，得．（8分）
∵k≠0，∴．
∴t的取值范圍為．（10分）
解法二：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，
由可得（m²+2）y²+2my-1=0．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x，y），
則，．
可得．                     （6分）
∴AB垂直平分線NG的方程為y-y=-m（x-x）．
令y=0，得．（8分）
∵m≠0，∴．
∴t的取值范圍為．                           （10分）

（Ⅲ）解法一：．
而，
∵，由，可得，，．
所以．
又|F₂G|=1-t，
所以（）．（12分）
設(shè)f（t）=t（1-t）³，則f′（t）=（1-t）²（1-4t）．
可知f（t）在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)時，f（t）有最大值．
所以，當(dāng)時，△GAB的面積有最大值．（14分）
解法二：
而，
由，可得．
所以．
又|F₂G|=1-t，
所以．
所以△MPQ的面積為（）．（12分）
設(shè)f（t）=t（1-t）³，
則f'（t）=（1-t）²（1-4t）．
可知f（t）在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)時，f（t）有最大值．
所以，當(dāng)時，△GAB的面積有最大值．（14分）
點評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．