Question

已知雙曲線C：-y²=1,以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為__________,若動點A，B分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且=2,則線段AB中點的軌跡方程為________.

Answer 1

(x-)²+y²=1，x²+16y²=4 

解析：本題考查雙曲線的幾何性質以及軌跡方程的求法.已知雙曲線方程為-y²=1，所以右焦點坐標為F(,0)，漸近線方程為y=±.所以以F為圓心與漸近線相切的圓的半徑為點F到y=±的距離，所以r==1，所以圓的方程為：(x-)²+y²=1.設A、B的坐標分別為(-a,2a)，(b,2b).中點M(x，y)，根據題意x==b+a,又|AB|=2，|AB|²=(a+b)²+4(a-b)²=4，∴4=x²+16y²，所以AB中點的軌跡方程為x²+16y²=4.