Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{b_n}滿足．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并說(shuō)明{a_n}是否為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和前T_n；
（3）若-對(duì)任意的n∈N^*恒成立，求t的最小正整數(shù)值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減可得數(shù)列通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和；
（3）確定b_n的最小值為b₂=b₃=，從而將不等式轉(zhuǎn)化為t的不等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3×1-1=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=
∴
∵n=1時(shí)，a₁=S₁=3×1-1=2不滿足
∴{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）∵=，
∴=
∴數(shù)列的前n項(xiàng)和前T_n=
∴
兩式相減可得=
∴T_n=
（3）由（2）有b_n+1-b_n==
∴n≤2時(shí)，有b_n+1-b_n≤0；n＞2時(shí)，b_n+1-b_n＞0
∴b_n的最小值為b₂=b₃=
∴-等價(jià)于-
∴t²-2t-3＞0
∴t＞3或t＜-1
∴t的最小正整數(shù)值是4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問(wèn)題，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．