Question

如下圖,A村在B地正北 km處,C村在B地正東4 km處,已知弧形公路PQ上任一點到B、C兩點的距離之和為8 km,現要在公路旁建造一個交電房M分別向A村、C村送電,但C村有一村辦工廠用電需用專用線路,不得與民用混線用電,因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電,要使用電線最短,電房M應建在A村的什么方位,并求出M到A村的距離.

Answer 1

思路分析：要把實際問題轉化成數學問題，首先要建立適當的直角坐標系，然后利用橢圓的第一和第二定義解答.

解：以直線BC為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立如圖所示的直角坐標系,由題意得|MB|+|MC|=8＞4=|BC|.

∴點M在以B、C為焦點,長軸長為8 km的橢圓上.

由2a=8,2c=4,得a=4,c=2,b=.

∴橢圓方程為=1.

其中準線l：x=8,離心率e=,

作MN⊥l于N,

則=,|MN|=2|MC|.

作AE⊥l于E交橢圓于M′(M′介于A、E之間).

∴|MA|+2|MC|=|MA|+|MN|≥|M′A|+|M′E|=|AE|=8-(-2)=10.

∴(|MA|+2|MC|)_min=10,此時M與M′的點重合.

由y=3,

解得M′(),

即M().

此時|AM|=+2=2(+1).

答：要使所用電線最短,電房M應建在A的正東方向,距A村2(+1) km處.