Question

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側面為矩形，，，為的中點，與交于點，側面.

（1）證明：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題以三棱柱為幾何背景考查線線垂直的判定和線面垂直的判定以及線面角的求法，可以運用空間向量法求解，突出考查考生的空間想象能力和推理論證能力以及計算能力.第一問，由于側面為矩形，所以在直角三角形和直角三角形中可求出和的正切值相等，從而判斷2個角相等，通過轉化角得到， 又由于線面垂直，可得，所以可證， 從而得證；第二問，根據已知條件建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，根據，求出平面的法向量，再利用夾角公式求出直線和平面所成角的正弦值.
試題解析：(1)證明：由題意,
注意到,所以,
所以,
所以,      3分
又側面，
又與交于點，所以,
又因為,所以        6分
(2)如圖，分別以所在的直線為軸，以為原點，建立空間直角坐標系

則，，，，，
又因為，所以        8分
所以，，
設平面的法向量為，
則根據可得是平面的一個法向量,
設直線與平面所成角為，則   12分