Question

已知直線l：x-ny=0（n∈N*），圓M：（x+1）²+（y+1）²=1，拋物線φ：y=（x-1）²，又l與M交于點A、B，l與φ交于點C、D，求

lim

n→∞

|AB|2

|CD|2

．

Answer 1

分析：要求

lim

n→∞

|AB|2

|CD|2

的值，必須先求它與n的關系，，由圓心到直線l的距離和圓的知識可知|AB|²=

8n

1+ n 2

．設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

x-ny=0 y=(x-1)2

整理得nx²-（2n+1）x+n=0，由根與系數的關系可知|CD|²=

1

n4

（4n+1）（n²+1）．由此能夠求出

lim

n→∞

|AB|2

|CD|2

的值．

解答：解：設圓心M（-1，-1）到直線l的距離為d，則d²=

(n-1)2

n 2   +1

．
又r=1，∴|AB|²=4（1-d²）=

8n

1+ n 2

．
設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

x-ny=0 y=(x-1)2

?nx²-（2n+1）x+n=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=1．
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4n+1

n 2

，（y₁-y₂）²=（

x1

n

-

x2

n

）²=

4n+1

n4

，
∴|CD|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=

1

n4

（4n+1）（n²+1）．
∴

lim

n→∞

|AB |2

|CD|2

=

lim

n→∞

8n5

(4n+1)(n2+1)2

=

lim

n→∞

8

(4+ 1 n )(1+ 1 n )2

=2．

點評：本題屬于解析幾何與數列極限的綜合題．要求極限，需先求

|AB |2

|CD|2

，這就要求掌握求弦長的方法．