Question

把正方形ABCD沿其對角線AC折成直二面角D-AC-B后，連接BD，得到如圖所示的幾何體，已知點D、E、F分別為線段AC、AD、BC的中點，
(1)求證：AB∥平面EOF；
(2)求二面角E-OF-B的大小．

Answer 1

(1)證明：∵點O、F分別為線段AC、BC的中點， ∴OF∥AB， ∵OF平面EOF，AB平面EOF， ∴AB∥平面EOF。
(2)解：∵二面角D-AC-B為直二面角，連接OD， ∵AD=DC，∴OD⊥AC， ∵平面ADC⊥平面ABC， ∴OD⊥平面ABC， 又AB=BC， ∴OB⊥AC， 于是可建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz， 由題可設OA=OB=OC=OD=2a， ∵點E、F分別為線段AD、BC的中點， ∴A(0，-2a，0)，B(2a，0，0)，C(0，2a，0)，D(0，0，2a)， E(0，-a，a)，F(a，a，0)， ∴， 設平面EOF的一個法向量為n1=(x，y，z)， 由得， 取x=-1，則， ∴n1=(-1，1，1)， 設平面OBF的一個法向量為n2=(0，0，1)， ， ∴二面角E-OF-B的大小為。