Question

若｛a_n｝是公差d≠0的等差數列，通項為a_n，｛b_n｝是公比q≠1的等比數列.已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃.

（1）求d和q；

（2）是否存在常數a，b使對于一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立?若存在，則求出來；若不存在，請說明理由.

Answer 1

思路解析：第（1）題可以通過已知條件，用基本量求解；第（2）題是個探索存在型

問題，可以先設要證的結論存在，然后找結論存在的條件，最后根據推理過程中，有無矛盾發生，再得出結論.

解：（1）∵a₂=a₁+d=1+d，b₂=b₁q=q，而a₂=b₂，

∴1+d=q.                                                                     ①

又a₆=a₁+5d=1+5d，b₃=b₁q²=q²，

∴1+5d=q² .                                                                 ②

由①②可以解得q=4，d=3.

（2）假設存在常數a、b滿足等式，把

a_n=a₁+（n-1）d=3n-2，b_n=b₁q^n-1=4^n-1，

代入a_n=log_ab_n+b，得3n-2=log_a4^n-1+b，

即（3-log_a4）n+（log_a4-b-2）=0.                                 ③

∵n∈N^*，若③式對一切n∈N^*都成立，

則

解得a=，b=1.

深化升華

本題是個探索型問題，探索實數a、b的存在性.

    解答此類問題，一般先假設要求（或要證）的結論是存在的，然后利用條件和有關概念、公理、定理、法則進行推理.如果能夠正確推理，則結論存在；反之，若出現矛盾，則結論不存在.