Question

若sinθ，cosθ是關于x的方程5x²-x+a=0（a是常數）的兩個根，θ∈（0，π），則cos2θ=

-

7

25

．

Answer 1

分析：利用根與系數之間的關系得到sinθ+cosθ，如sinθcosθ，然后利用二倍角公式求cos2θ的值．

解答：解：因為sinθ，cosθ是關于x的方程5x²-x+a=0的兩個根，所以sinθ+cosθ=

1

5

，sinθcosθ=

a

5

，
又因為（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，所以

1

25

=1+2×

a

5

，
解得a=-

12

5

．因為sinθ+cosθ=

1

5

＞0，sinθcosθ=

a

5

=-

12

25

＜0，
所以θ∈（

π

2

，π），所以sinθ-cosθ＞0，所以sinθ-cosθ=

1-2sinθcosθ

=

1-2×(- 12 25 )

=

49 25

=

7

5

所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=

1

5

×(-

7

5

)=-

7

25

．
故答案為：-

7

25

．

點評：本題主要考查余弦的二倍角公式以及同角的三角函數的關系式．