Question

若函數f(x)滿足f(x+3)+f(x-3)=2x²-8x+8,f(x+3)-f(x-3)=4(x-2),且f(a-1),1,f(a+1)是一個遞增的等差數列{a_n}的前三項.

(1)求數列{a_n}的通項公式;

(2)記T_n=(n＞1,n∈N^*),設g(n)=T_2n+1-T_n+1,試確定實數m的取值范圍,使得對于一切大于1的自然數n,不等式g(n)＞［log_m(m-1)］²-恒成立.

Answer 1

解:(1)由得f(x-3)=x²-6x+8,從而f(x)=x²-1.   

∵f(a-1),1,f(a+1)是一個遞增的等差數列{a_n}的前三項,

∴f(a-1)+f(a+1)=2,

即(a²-2a)+(a²+2a)=2.

解得a=-1或a=1.

若a=-1,則a₁=3,a₃=-1不合題意.                                               

若a=1,則a₁=-1,a₃=3.從而數列{a_n}的公差為d=2,

a_n=-1+(n-1)2=2n-3.                                                          

(2)∵T_n=(n＞1,n∈N^*),

∴g(n)=T_2n+1-T_n+1=.

又g(n+1)-g(n)=

∴g(n+1)＞g(n).∴g(n)是關于n的增函數.                                       

∴g(n)_min=g(2)=.

∴要使一切大于1的自然數n,不等式?g(n)＞［log_m(m-1)］²-恒成立,

只要＞［log_m(m-1)］²-成立即可.

由得m＞1且m≠2,

此時設［log_m(m-1)］²=t,則t＞0,                                               

于是解得0＜t＜1.

由此得0＜［log_m(m-1)］²＜1,

解得m＞且m≠2.