Question

已知f（x）=a^x-1-1，（a＞1）的反函數為f^-1（x）．
（1）若函數y=f-1(2x+

m

x

-4)在區(qū)間（m，+∞）上單增，求實數m的取值范圍；
（2）若關于x的方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2在（1，+∞）內有兩個不相等的實數根，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求反函數，再將問題轉化為u=2x+

m

x

-3在（m，+∞）上單增且恒正，從而可求實數m的取值范圍；
（2）令t=log_ax，利用換元法將方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2轉化為t²+（2-p）t+3-p=0有兩個不相等的正數根t₁，t₂，利用韋達定理可求實數p的取值范圍．

解答：解：設y=a^x-1-1，（a＞1）
則a^x-1=y+1
∴x-1=log_a（y+1）
∴x=1+log_a（y+1）
∴f^-1（x）=1+log_a（x+1）
（1）y=f-1(2x+

m

x

-4)=1+loga(2x+

m

x

-3)，
因為a＞1，故題意等價于u=2x+

m

x

-3在（m，+∞）上單增且恒正，
故必有m＞0
于是u′=2-

m

x2

≥0，x∈(m，+∞)且x=m時，即2m+

m

m

-3≥0，
解得m∈[1，+∞）；
（2）方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2即（1+log_ax）•（1-p+log_ax）=-2
令t=log_ax，因為a＞1，故當x∈（1，+∞）時，t＞0
∵x的方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2在（1，+∞）內有兩個不相等的實數根，
∴t²+（2-p）t+3-p=0有兩個不相等的正數根t₁，t₂，
故

△=(2-p)2-4(3-p)＞0 t1+t2=p-2＞0 t1t2=-p＞0

∴2

2

＜p＜3
∴實數p的取值范圍為(2

2

，3)

點評：本題以函數為載體，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，等價轉化是關鍵．