Question

（2007•閘北區一模）有以下命題：
（1）若函數f（x）既是奇函數又是偶函數，則f（x）的值域是{0}；
（2）若f（x）是偶函數，則f（|x|）=f（x）；
（3）若函數f（x）在其定義域內非單調，則f（x）不存在反函數；
（4）若函數f（x）與其反函數f^-1（x）不完全相同，且有公共點P，則點P必在直線y=x上．
其中正確命題的序號為（　　）

A．（1）與（2）

B．（3）與（4）

C．（1）與（3）

D．（4）與（2）

Answer 1

分析：（1）函數f（x）既是奇函數又是偶函數，則f（x）=0．（2）利用偶函數的定義和性質判斷．（3）利用單調函數的定義進行判斷．（4）利用反函數的性質進行判斷．

解答：解：（1）若函數f（x）既是奇函數又是偶函數，則f（x）=0，為常數函數，所以f（x）的值域是{0}，所以（1）正確．
（2）若函數為偶函數，則f（-x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以（2）正確．
（3）因為函數f（x）=

1

x

在定義域上不單調，但函數f（x）=

1

x

存在反函數，所以（3）錯誤．
（4）原函數圖象與其反函數圖象的交點關于直線y=x對稱，但不一定在直線y=x上，比如函數y=-

x+1

與其反函數y=x²-1（x≤0）的交點坐標有（-1，0），（0，1），顯然交點不在直線y=x上，所以（4）錯誤．
故選A．

點評：本題主要考查函數的有關性質的判定和應用，要求熟練掌握相應的函數的性質，綜合性較強．