Question

（本題滿分12分）已知函數。
（Ⅰ）試證函數f(x)的圖象關于點對稱；
（Ⅱ）若數列的通項公式為, 求數列的前項和；
（Ⅲ）設數列滿足：，。設。若（Ⅱ）中的滿足對任意不小于2的正整數，恒成立，試求的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）證明略。
（Ⅱ）
（Ⅲ）6

解:
（Ⅰ）設點是函數的圖象上任意一點, 其關于點的對稱點為由得
所以, 點P的坐標為P
由點在函數的圖象上, 得
∵
 ∴點P在函數的圖象上
∴函數的圖象關于點對稱
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, , 所以,
即
由,   ………………①
得………………②
由①＋②, 得
∴
（Ⅲ）∵, ………………③
∴對任意的. ………………④
由③、④, 得即
∴
∵∴數列是單調遞增數列
∴關于n遞增. 當, 且時,
∵
∴
∴即∴∴m的最大值為6。