Question

２２.如圖，弧ADB為半圓，AB為直徑，O為半圓的圓心，且OD⊥AB，Q為半徑OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且始終保持|PA|+|PB|的值不變.

（1）建立適當的直角坐標系，求曲線C的方程；

（2）過點D的直線與曲線C交于不同的兩點M、N，求三角形OMN面積的最大值.

Answer 1

（1）  （2）

解析:

（1）以O點為坐標原點，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系　　

當P與Q重合時，|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=>|AB|=4.　

所以，P的軌跡為以A、B為焦點的橢圓，其方程為

（2）設直線方程為

由  消去得：　　　

所以，

又O到直線MN的距離為， 所以，S_△MON=|MN|　

令=m，則，

所以，