Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數．
（Ⅰ）當時，求函數的表達式；
（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時）.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

試題分析：（Ⅰ）根據題意, ：當時，,當時，是一次函數, 可設為，將與代入求出即可；（Ⅱ）分段函數最值分段求, 當時，為增函數，故當時，其最大值為,當時，是二次函數,利用二次函數性質,求出最大值,然后比較,誰最大為誰.
試題解析：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設，顯然在是減函數，由已知得，解得,故函數的表達式為
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得,當時，為增函數，故當時，其最大值為；當時，，當且僅當，即時，等號成立．所以，當時，在區間上取得最大值．
綜上，當時，在區間上取得最大值，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．