Question

（2011•許昌三模）已知過原點的直線與函數y=|sinx|（x≥0）的圖象有且只有三個交點，a是交點中橫坐標的最大值，則

(1+a2)sin2a

2a

的值為

1

．

Answer 1

分析：依題意，過原點的直線與函數y=|sinx|（x≥0）在區間（π，2π）內的圖象相切，利用導數知識可求得切線方程，利用直線過原點，可求得α=tanα，代入所求關系式即可求得答案．

解答：解：因為過原點的直線與函數y=|sinx|（x≥0）的圖象有且只有三個交點，
所以直線與函數y=|sinx|（x≥0）在區間（π，2π）內的圖象相切，
在區間（π，2π）上，y的解析式為y=-sinx，
故由題意切點坐標為（α，-sinα），
∴切線斜率k=y′=-cosx|_x=α=-cosα，
∴由點斜式得切線方程為：
y+sinα=-cosα（x-α），
∴y=-cosαx+αcosα-sinα，
∵直線過原點，
∴αcosα-sinα=0，得α=tanα．
∴

(1+α2)sin2α

2α

=

(1+tan2α)sin2α

2tanα

=

(1+ sin2α cos2α )×2sinαcosα

2× sinα cosα

=（1+

sin2α

cos2α

）×cos²α=cos²α+sin²α=1．
故答案為1

點評：本題考查直線與正弦曲線的交點，考查導數的幾何意義，直線的點斜式方程的應用，求得α=tanα是關鍵，考查三角函數間的關系的綜合應用，屬于難題．