Question

已知函數f（x）=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數a的值；
（3）設g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區間[l，e]上的最小值．（其中e為自然對數的底數）

Answer 1

分析：（1）求導數，利用導數求函數的單調性區間．
（2）求函數的導數，利用切點處的導數和切線斜率相等，求出a的值．
（3）利用導數求函數g（x）在閉區間上的最小值．

解答：解：（1）f′(x)=

a(2-x)

x3

，(x≠0)，因為a＞0，所以由f'（x）＞0，得0＜x＜2，此時函數單調遞增．
由f'（x）＜0，得x＞2或x＜0，此時函數單調遞減．
所以函數f（x）的單調增區間為（-∞，0）和（2，+∞），單調遞減區間為（0，2）．
（2）設切點坐標為（x₀，y₀，則

y0= a(x0-1) x0 x0-y0-1=0 a(2-x0) x03 =1

，解得x₀=1，a=1．
（3）g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
則g'（x）=lnx+1-a，由g'（x）=lnx+1-a=0，解得x=e^a-1．
所以在區間（0，e^a-1）上，函數單調遞減，在（e^a-1．，+∞）上，函數單調遞增．
①當e^a-1．≤1，即0＜a≤1時，在區間[l，e]上g（x）單調遞增，所以g（x）的最小值為g（1）=0．
②當e^a-1．≥e，即a≥2時，在區間[l，e]上g（x）單調遞減，所以g（x）的最小值為g（e）=e+a-ae．
③當1＜e^a-1．＜e，即1＜a＜2時，g（x）的最小值為g（e^a-1．）=（a-1）e^a-1．-a（e^a-1．-1）=a-e^a-1．．
綜上當0＜a≤1時，g（x）的最小值為g（1）=0．
當1＜a＜2時，g（x）的最小值為g（e^a-1．），
當≥2時，g（x）的最小值為g（e）=e+a-ae．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的最值和函數的單調區間，比較綜合．