Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx+d，當x=-3和x=1時，f（x）取得極值．
（1）求b，c的值；
（2）若函數f（x）的極大值大于20，極小值小于5，試求d的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c
∵當x=-3和x=1時，f（x）取得極值，
∴f′（-3）=0，f′（1）=0，
∴，
解得，b=3，c=-9．
（2）由（Ⅰ）知：f（x）=x³+3x²-9x+d，f′（x）=3x²+6x-9，
令f′（x）＞0，得3x²+6x-9＞0，解得x＜-3或x＞1，
∴f（x）的增減區間、極值、端點值情況如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值27+d	遞減	極小值d-5	遞增

∵函數f（x）的極大值大于20，極小值小于5．
∴，解得-7＜d＜10，
∴d的取值范圍是（-7，10）．
分析：（1）求出f（x）的導函數，令導函數在兩個極值點處的值為0，列出方程組，求出b，c的值．
（2）將（I）中求出的 b，c的值代入f（x），列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，求出極大值與極小值，利用已知條件列出不等式組，求出d范圍．
點評：求函數的極值，一般求出函數的導數，求出導函數大于0的x范圍及導函數小于0的x的范圍，列出x，f′（x），f（x0的情況變化表從而得到函數的極值；注意函數在極值點處的導數值為0．