Question

已知函數，（其中）.

（1）求的單調區間；

（2）若函數在區間上為增函數，求的取值范圍；

（3）設函數，當時，若存在，對任意的，總有成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）單調增區間為，單調減區間為.

（2）.

（3）實數的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）利用導數非負，函數是增函數，導數非正，函數是減函數.通過研究函數的導數值正負，解決問題；

（2）利用“轉化與劃歸思想”，由題意得到在上恒成立，即在上恒成立，應用二次函數的性質得到，解得，注意驗證時，是否恒為0；

（3）將“存在，對任意的，總有成立”轉化成“在上的最大值不小于在上的最大值”. 建立的不等式組.

試題解析：（1），，

，故.

當時，；當時，.

的單調增區間為，單調減區間為. 3分

（2），則，由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函數開口向上，且對稱軸為，故在上單調遞增，因此只需使，解得；

易知當時，且不恒為0.

故. 7分

（3）當時，，，故在上，即函數在上單調遞增，. 9分

而“存在，對任意的，總有成立”等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”.

而在上的最大值為中的最大者，記為.

所以有，，

.

故實數的取值范圍為. 13分

考點：應用導數研究函數的單調性、最值，轉化與劃歸思想，不等式的解法.