Question

已知函數f（x）=1n（ax+1）+

1-x

1+x

（x≥0，a為正實數）．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若函數f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數求導，然后根據導數的幾何意義可求切線斜率k=f′（1），進而可求切線方程
（Ⅱ）先對函數求導，可得f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．通過討論a-2的正負，判斷導數在[0，+∞）上的符號，以判斷函數的單調區間
（Ⅲ）結合（II）中函數單調區間，可求函數取得最小值的條件及最小值，從而可求a的范圍

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=1n（x+1）+

1-x

1+x

則f′(x)=

1

1+x

-

2

(1+x)2

．…（2分）
所以f′（1）=0．又f（1）=ln2，因此所求的切線方程為y=ln2．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．…（5分）
（1）當a-2≥0，即a≥2時，因為x≥0，所以f′（x）＞0，所以函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增．…（6分）
（2）當a-2＜0，即0＜a＜2時，令f′（x）=0，則ax²+a-2=0（x≥0），所以x=

2-a a

．
因此，當x∈[0，

2-a a

）時，f′（x）＜0，當x∈（

2-a a

，+∞）時，f′（x）＞0，．
所以函數f（x）的單調遞增區間為（

2-a a

，+∞），，函數f（x）的單調遞減區間為[0，

2-a a

）…（10分）
（Ⅲ）當a≥2時，函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，則f（x）的最小值為f（0）=1，滿足題意．…（11分）
當0＜a＜2時，由（Ⅱ）知函數f（x）的單調遞增區間為（

2-a a

，+∞），函數f（x）的單調遞減區間為[0，

2-a a

）
則f（x）的最小值為f（

2-a a

），而f（0）=1，不合題意．
所以a的取值范圍是[2，+∞）．…（13分）

點評：本題主要考查了函數的導數在切線方程求解、函數的單調區間的求解及利用單調性求解函數的最值中的應用，注意分類討論思想的應用．