Question

設函數f（x）=ln（x+a）+x²
（I）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調性；
（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln

e

2

．

Answer 1

分析：（I）先求函數定義域，然后對函數求導，由題意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．
（II）由題意可得在區間（-a，+∞）上，f′（x）=0有根，結合一元二次方程根的存在情況討論該方程的△=4a²-8，求a的取值范圍，結合a的取值，把極值點代入函數f（x）可得，f(x1)+f(x2)=ln

1

2

+a2-1＞1+ln

1

2

=ln

e

2

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+a

+2x，
依題意有f'（-1）=0，故a=

3

2

．
從而f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

．
f（x）的定義域為(-

3

2

，+∞)，當-

3

2

＜x＜-1時，f'（x）＞0；
當-1＜x＜-

1

2

時，f'（x）＜0；
當x＞-

1

2

時，f'（x）＞0．
從而，f（x）分別在區間(-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)單調增加，在區間(-1，-

1

2

)單調減少．

（Ⅱ）f（x）的定義域為（-a，+∞），f′(x)=

2x2+2ax+1

x+a

．
方程2x²+2ax+1=0的判別式△=4a²-8．
（ⅰ）若△＜0，即-

2

＜a＜

2

，在f（x）的定義域內f'（x）＞0，故f（x）的極值．
（ⅱ）若△=0，則a-

2

或a=-

2

．
若a=

2

，x∈(-

2

，+∞)，f′(x)=

( 2 x-1)2

x+ 2

．
當x=

2

2

時，f'（x）=0，
當x∈(-

2

，

2

2

)∪(

2

2

，+∞)時，f'（x）＞0，所以f（x）無極值．
若a=-

2

，x∈(

2

，+∞)，f′(x)=

( 2 x-1)2

x- 2

＞0，f（x）也無極值．
（ⅲ）若△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

，則2x²+2ax+1=0有兩個不同的實根x1=

-a- a2-2

2

，x2=

-a+ a2-2

2

．
當a＜-

2

時，x₁＜-a，x₂＜-a，從而f'（x）有f（x）的定義域內沒有零點，
故f（x）無極值．
當a＞

2

時，x₁＞-a，x₂＞-a，f'（x）在f（x）的定義域內有兩個不同的零點，
由根值判別方法知f（x）在x=x₁，x=x₂取得極值．
綜上，f（x）存在極值時，a的取值范圍為(

2

，+∞)．
f（x）的極值之和為f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+

x

2 1

+ln(x2+a)+x22=ln

1

2

+a2-1＞1-ln2=ln

e

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值及單調性，解題時若含有參數，要對參數的取值進行討論，而分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用．