Question

已知兩條互相平行的直線l₁，l₂之間的距離為常數a，這兩條直線與邊長為1的正方形的四條邊分別交于點M，N，P，Q（按逆時針方向排列且均不與正方形的頂點重合）．
（理科生做）試問是否存在常數a，使得四邊形MNPQ的兩條對角線的夾角θ為定值？若存在，求出所有的常數a及相應的θ的值；若不存在，說明理由．
（文科生做）當a=

2

2

時，四邊形MNPQ的兩條對角線的夾角θ是否為定值？若是，求出θ的值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（理科）以正方形的一組邊所在的直線為x坐標軸建立平面直角坐標系，由正方形的對稱性不妨設直線l₁分別交邊AB，BC于M，N，l₂分別交邊CO，OA于P，Q，直線l₁的方程為y=kx+b₁，直線l₂的方程為y=kx+b₂（k＜0，b₁＞b₂），由題意得點M（1，k+b₁）N(

1-b1

k

，1)，P（0，b₂），Q（-

b2

k

，0），由幾何圖形可知，對于任意常數a（0＜a＜

2

），都有無數個k使得兩平行線l₁，l₂與正方形四條邊相交，所以可設直線NQ的斜率K_NQ存在，若使得四邊形MNPQ的兩條對角線的夾角θ為定值，由題意可得，KNQ=

1

1-b1+b2 k

=

k

1-b1+b2

，K_PM=k+b₁-b₂．分θ為定值90°，及θ≠90°，根據直線的夾角公式可求
（文科）：以正方形的一組邊所在的直線為x坐標軸建立平面直角坐標系，，由正方形的對稱性不妨設直線l₁分別交邊AB，BC于M，N，l₂分別交邊CO，OA于P，Q，直線l₁的方程為y=kx+b₁，直線l₂的方程為y=kx+b₂（k＜0，b₁＞b₂）
由題意得點M（1，k+b₁），N(

1-b1

k

，1)，P（0，b₂），Q（-

b2

k

，0）
當a=

2

2

時，取k=-1，可求直線MP與QN的夾角θ=

π

2

，又取k=-

2

2

時，則由直線的夾角公式可得直線MP與NQ的夾角θ≠

1

2

π，從而可得

解答：（理科）解：以正方形的一組邊所在的直線為x坐標軸建立平面直角坐標系，如圖所示
由正方形的對稱性不妨設直線l₁分別交邊AB，BC于M，N，l₂分別交邊CO，OA于P，Q，直線l₁的方程為y=kx+b₁，直線l₂的方程為y=kx+b₂（k＜0，b₁＞b₂）
由題意得點M（1，k+b₁）N(

1-b1

k

，1)，P（0，b₂），Q（-

b2

k

，0）（1分）
由幾何圖形可知，對于任意常數a（0＜a＜

2

），都有無數個k使得兩平行線l₁，l₂與正方形四條邊相交，所以可設直線NQ的斜率K_NQ存在
由題意可得，KNQ=

1

1-b1+b2 k

=

k

1-b1+b2

，K_PM=k+b₁-b₂（2分）
當直線l₁，l₂變化時，若存在常數a使得θ為定值90°，則

k

1-b1+b2

•(k+b1-b2)=-1（1）
∵直線l₁，l₂之間的距離為|

b1-b2

1+k2

|=a，化簡可得，b1-b2=

1+k2

a(0＜a＜

2

)
代入（1）可得，a=

1+k2

1-k

，與a為常數矛盾，所以夾角θ不可能是定值90°（4分）
∴四邊形MNPQ的兩條對角線PM，NQ的夾角θ應滿足
tanθ=|

kPM-KNQ|

1+kPM•KMQ

=|

k(b1-b2)-(b1-b2)+(b1-b2)2

1-(b1-b2)+k(b1-b2)+k2

|
=|

(k-1)(b1-b2)+(1+k2) a2

(k-1)(b1-b2)+(1+k2)

|
=|

1+ (1+k2)a2 (k-1)(b1-b2)

1+ 1+k2 (k-1)(b1-b2)

|
=|

1- 1+k2 k-1 a

1+ 1+k2 (k-1)a

|
令

1+k2

k-1

=t，則tanθ=|

1+at

1+ t a

|=|

a(1-a2)

a+t

+a2|（6分）
∴當且僅當a=1，tanθ為定值1
經檢驗，當常數a=1時，四邊形MNPQ的兩條對角對角線的夾角θ為定值

π

4

（8分）
（文科））解：以正方形的一組邊所在的直線為x坐標軸建立平面直角坐標系，如圖所示
由正方形的對稱性不妨設直線l₁分別交邊AB，BC于M，N，l₂分別交邊CO，OA于P，Q，直線l₁的方程為y=kx+b₁，直線l₂的方程為y=kx+b₂（k＜0，b₁＞b₂）
由題意得點M（1，k+b₁），N(

1-b1

k

，1)，P（0，b₂），Q（-

b2

k

，0）（2分）
當a=

2

2

時，取k=-1，則直線QN的斜率不存在，此時直線MP的斜率為0，直線MP與QN的夾角θ=

π

2

（5分）
又取k=-

2

2

時，則直線MP與NQ的斜率分別為KPM=

3 - 2

2

，KNQ=

2

3 - 2

K_PM•K_QN≠1，此時夾角θ≠

1

2

π
∴a=

2

2

，直線PM與QN的夾角θ不能為定值（8分）

點評：本題主要考查了了兩直線的夾角公式及兩平行線的距離公式的應用，考查了考試的邏輯推理與運算的能力的綜合考查