Question

已知f(x)=

a

•

b

，其中

a

=(sin2x，-

3

)，

b

=(1，cos2x)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）f（x）的圖象可由正弦函數的圖象經過怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（1）由向量的坐標運算可求得f（x）=

a

•

b

=2sin（2x-

π

3

），從而可求得其周期；
（2）由正弦函數的單調性可由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z求得f（x）的單調遞增區間；
（3）利用三角函數的圖象變換規律，可先進行相位變換，再進行周期變換，最后進行振幅變換即可．

解答：解：（1）∵

a

=（sin2x，-

3

），

b

=（1，cos2x），
∴f（x）=

a

•

b

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得：
kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（3）y=sinx

圖象上所有的點向右平移 π 3 個單位

y=sin（x-

π

3

）

圖象上所有點的橫坐標變為原來的 1 2 (縱坐標不變)

y=sin（2x-

π

3

）

圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的2倍(橫坐標不變)

y=2sin（2x-

π

3

）．

點評：本題考查平面向量數量積的坐標表示，考查三角函數的周期性及其求法，考查正弦函數的單調性及三角函數的圖象變換，屬于中檔題．