Question

（本小題9分）
如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，，點E是SD上的點，且

（Ⅰ）求證：對任意的，都有
（Ⅱ）設二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值

Answer 1

（Ⅰ）見解析；
（Ⅱ）

(1)可以通過證明即可。
(II)先找出二面角C-AE-D的平面角∠CDF，即∠CDF=.直線BE與平面ABCD所成的角,即=.然后再根據建立關于的方程，解出的值。
解:Ⅰ）證法1：如圖1，連接BE、BD，

由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE ------3分
（Ⅱ）如圖1，

由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,
SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。
又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.
連接AE、CE，過點D在平面SAD內作DE⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。  ------------------5分
在Rt△BDE中，BD=2a，DE= 
在Rt△ADE中,
從而在中，      --7分
由，得.
由，解得，即為所求.   ---------------------------------9分
（1）證法2：以D為原點，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如
圖2所示的空間直角坐標系，

則：D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），---------2分

，     即。       ---------3分
解法2：
由（I）得.
設平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得
。--------------------5分
易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為.   -------------7分
0<，，
            =1

由于，解得，即為所求。--------------------9分