Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長是2，D是棱BC的中點，點M在棱BB₁上，且BM=

1

3

B₁M，又CM⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-ADC₁體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明A₁B∥平面AC₁D，只需證明DE∥A₁B，利用三角形的中位線的性質可證；
（Ⅱ）先證明∠CDC₁與∠MCB互余，利用BM=

1

3

B₁M，底面邊長是2，求AA₁的長，利用三棱錐B₁-ADC₁體積等于三棱錐A-B₁DC₁體積，即可求得結論．

解答：（Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于點E，連接DE，則DE是△A₁BC的中位線，
∴DE∥A₁B，又DE?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）解：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是棱BC的中點，則AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥MC，
∵CM⊥AC₁，AC₁∩AD=A
∴CM⊥平面AC₁D
∴CM⊥C₁D，∴∠CDC₁與∠MCB互余
∴tan∠CDC₁與tan∠MCB互為倒數
∵BM=

1

3

B₁M，底面邊長是2
∴AA₁=2

2

連接B₁D，則S_△B1C1D=2

2

∵AD⊥平面DC₁B₁，AD=

3

∴三棱錐B₁-ADC₁體積等于三棱錐A-B₁DC₁體積=

1

3

×2

2

×

3

=

2 6

3

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐的體積，解題的關鍵是利用線面平行的判定定理，利用轉換底面求體積．