Question

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．又已知該雙曲線的離心率．

（1）求證：，，依次成等差數列；
（2）若F(，0)，求直線AB在雙曲線上所截得的弦CD的長度．

Answer 1

解：（1）由已知e2＝，即＝，故a2＝c2，        ①
從而b2＝c2－a2＝c2，                        ②
故＝＝，設∠AOF＝∠BOF＝，＝．
故tan∠AOB＝tan2＝＝，即＝．
令＝3m(m＞0) ，則＝4m，＝5m，滿足＋＝2，
所以，，，依次成等差數列．
（2）由已知c2＝5，代入①，②得a2＝4， b2＝1，
于是雙曲線的方程為．
設直線AB的斜率為k，則k＝tan∠BFx＝tan∠AFO＝cot＝2．
于是直線AB的議程為 y＝2(x－)．…………………………………………9分
聯立消y得15x2－x＋84＝0．
故弦CD的長度 | CD |＝＝×＝…13分 

略