Question

（2012•臨沂二模）已知函數f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）已知銳角三角形ABC的三個內角分別為A、B、C，若f（A-

π

6

）=1，BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的長．

Answer 1

分析：（I）根據倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式對解析式化簡，再由周期公式和正弦函數的對稱軸進行求解；
（II）把條件代入f（x）的解析式化簡，再由A的范圍和正弦值求A，結合條件和正弦定理求出邊BC．

解答：解：由題意得，f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin(2x+

π

6

)，
（I）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

π

6

+

kπ

2

，
則函數的對稱軸為：x=

π

6

+

kπ

2

（k∈Z），
（II）由f(A-

π

6

)=1得，sin(2A-

π

6

)=1，
∵0＜A＜

π

2

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，則2A-

π

6

=

π

2

，
解得A=

π

3

，
在△ABC中，由正弦定理得，

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

7

sin π 3

=

AC

21 7

，
解得AC=2．

點評：本題考查了三角恒等變換、正弦函數的性質的應用，以及正弦定理的綜合應用，關鍵是正確對解析式進行化簡，屬于中檔題．