Question

已知函數f（x）=2cos²ωx-1+2

3

cosωxsinωx（0＜ω＜1），直線x=

π

3

是f（x）圖象的一條對稱軸．
（Ⅰ）試求ω的值；
（Ⅱ）若函數y=g（x）的圖象是由y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移

2π

3

個單位長度得到，求函數g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于 函數f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），直線x=

π

3

是f（x）圖象的一條對稱軸，故有2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，再由0＜ω＜1，可得ω 的值．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=2sin（x+

π

6

），根據y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）=2cos（

1

2

x），由 0≤x≤

π

2

，利用正弦函數的定義域和值域求得函數g（x）取得最值．

解答：解：（Ⅰ）由于 函數f（x）=2cos²ωx-1+2

3

cosωxsinωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
直線x=

π

3

是f（x）圖象的一條對稱軸，故有f（

π

3

）為函數f（x）的最值，
故有 2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即ω=

3k+1

2

．
再由0＜ω＜1，可得ω=

1

2

．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=2sin（x+

π

6

），把y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，
可得函數y=2sin（

1

2

x+

π

6

）的圖象，再向左平移

2π

3

個單位長度，
可得g（x）=2sin[

1

2

（x+

2π

3

）+

π

6

]=2sin（

1

2

x+

π

2

）=2cos（

1

2

x） 的圖象，
由 0≤x≤

π

2

，可得0≤

1

2

x≤

π

4

，故當

1

2

x=0時，函數g（x）取得最大值為2，
當

1

2

x=

π

4

時，函數g（x）取得最小值為

2

．
故函數g（x）在[0，

π

2

]上的最大值為2，和最小值為

2

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于中檔題．